Green kernel estimates and the full Martin boundary for random walks on lamplighter groups and Diestel–Leader graphs

We determine the precise asymptotic behaviour (in space) of the Green kernel of simple random walk with drift on the Diestel–Leader graph DL(q, r), where q, r 2. The latter is the horocyclic product of two homogeneous trees with respective degrees q + 1 and r + 1. When q = r , it is the Cayley graph of the wreath product (lamplighter group) Zq Z with respect to a natural set of generators. We describe the full Martin compactification of these random walks on DL-graphs and, in particular, lamplighter groups. This completes previous results of Woess, who has determined all minimal positive harmonic functions.  2005 Elsevier SAS. All rights reserved. Résumé On détermine le comportement asymptotique précis (dans l’espace) du noyau de Green de la marche aléatoire simple avec dérive sur le graphe de Diestel–Leader DL(q, r), où q, r 2. Ce graphe est le produit horocyclique de deux arbres homogènes de degrés q + 1 et r + 1, respectivement. Quand q = r , il s’agit du graphe de Cayley du produit en couronne (« lamplighter group ») Zq Z par rapport à un ensemble naturel de générateurs. On décrit la compactification de Martin complète de ces marches aléatoires sur les graphes DL, et en particulier, les groupes du « lamplighter ». Ceci complète les résultats précédents de Woess, qui a déterminé les fonctions harmoniques minimales.  2005 Elsevier SAS. All rights reserved. MSC: 60J50; 05C25; 20E22; 31C05; 60G50